e：宇宙最有效率的進位系統

一、進位系統的效率兩難

在設計一個數字系統時，我們總是在尋求最高的「效率」，但這需要在一對矛盾中找到平衡：

我們的目標是：找到那個能讓「位數長度」與「單一位數複雜度」成本乘積最小的完美基數。

二、資訊的本質：為何是對數？

資訊理論告訴我們，資訊的量度來自於「不確定性的減少」。從 $b$ 個等機率的選項中做出一個選擇，所獲得的資訊量，是以對數（logarithm）來衡量的。

在一個基數為 $b$ 的進位系統中，每一個位數（digit）可以攜帶的資訊量（以 bit 為單位）為：

這意味著基數越大，單一位數承載的資訊越多。但這只是故事的一半，我們還需要考慮表達一個數字 $N$ 所需的總成本。

三、尋找效率的甜蜜點

為了量化一個進位系統的總體「成本」或「經濟性」（Radix Economy），我們需要考慮兩個因素的乘積：

1. 位數複雜度 (基數)： $b$
2. 表示數字 $N$ 所需的位數長度： $\log_b(N)$

總成本 $C$ 與 $b \cdot \log_b(N)$ 成正比。利用換底公式 $\log_b(N) = \frac{\ln(N)}{\ln(b)}$，我們可以將成本函數簡化為：

我們的目標是找到使這個成本函數 $f(b) = \frac{b}{\ln(b)}$ 最小化的 $b$ 值。透過微積分求導，我們發現當導數為零時，即達到最小值，而這個點正是：

📌 結論：理論上，最能平衡位數複雜度與長度的進位系統，其基數就是自然常數 e。

四、理論與現實的差距

既然 e 是最佳解，為何我們的電腦不用 e 進位？答案很簡單：實作的限制。

• e 是無理數： 我們無法創造出一個包含 2.718... 個穩定符號的物理系統。
• 硬體的可行性： 電路最容易、最穩定實現的是離散狀態，例如「開/關」、「高/低電位」，這天然對應了二進位的 0 和 1。

因此，我們只能退而求其次，選擇與 e 最接近的整數。在 2 和 3 之間，3 更接近 e。

五、我們活在一個對數世界

資訊以對數表示，並非巧合。這深刻地呼應了自然界與人類感知的底層規律。我們的感知系統天生就是對數尺度的。